Question

【題目】已知函數f（x）= （m，n為常數）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（﹣1）=﹣ ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）解關于x的不等式f（2x﹣1）＜﹣f（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函數f（x）= （m，n為常數）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，

∴f（0）= =0，∴n=0，

再根據f（﹣1）= =﹣ ，∴m=1，

∴f（x）= =

（2）解：關于x的不等式f（2x﹣1）＜﹣f（x）=﹣f（x），

∵f（x）= 在（0，1]上單調遞增，∴f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．

故由不等式可得 ，求得0≤x＜ ，

故不等式的解集為{x|0≤x＜ }

【解析】（1）由f（0）= =0，求得n=0，再根據f（﹣1）=﹣ ，求得m=1，∴f（x）得解析式．（2）關于x的不等式即f（2x﹣1）＜﹣f（x），再根據f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，可得不等式組 ，由此求得x的范圍．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．