Question

【題目】已知定義在上的函數滿足：對任意都有.

（1）求證：函數是奇函數；

（2）如果當時，有，試判斷在上的單調性，并用定義證明你的判斷；

（3）在（2）的條件下，若對滿足不等式的任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）函數在上為增函數，證明見解析（3）

【解析】

（1）先分析定義域是否關于原點對稱，再賦值求，令即可求證（2）先判斷在上為增函數，再根據定義證明在上是奇函數，根據奇函數性質知在上為增函數（3）根據（2）可得不等式的解，在此范圍恒成立，分離參數即可求解.

（1）函數的定義域關于原點對稱，令，可得，

所以，令，則，即，所以函數為奇函數.

（2）函數在上為增函數.

證明如下：

設且，則

，

因為時，有，

所以，

故

即，

所以函數在上是增函數，

根據奇函數的性質知函數在上是增函數，

故在上為增函數.

（3）因為，

所以，

因為在上為增函數，

所以，解得.

即當時，恒成立，

所以在上恒成立，

而，

所以只需，

故的取值范圍為.