Question

已知函數（為自然對數的底數）.
（1）求函數在上的單調區間；
（2）設函數，是否存在區間，使得當時函數的值域為，若存在求出，若不存在說明理由.

Answer 1

（1）時，為單調增區間；時，為單調遞減區間，為單調遞增區間；時，單調遞減區間為：， 單調遞增區間為：和；時，單調遞增區間為：.
（2）不存在.證明詳見解析.

試題分析：（1）先求導，然后根據導數的性質：的解集是區間，的解集是減區間求解即可.
(2)先求導可得，假設存在假設存在區間，使得當時函數的值域為，即，所以是，[m,n]為增區間，
由g（m）和g（n）的值可得方程有兩個大于的相異實根，再構造函數，求，根據導函數的性質，求函數單調區間和極值，證明h（x）在只存在一個零點即可.
試題解析：（1）    1分
①當時，由恒成立，在上單調遞增    2分
②當時，解得或
（ⅰ）若，則
在上單調遞減，在上單調遞增    4分
（ⅱ）若，則 
在和上單調遞增，
在上單調遞減    6分
綜上所述：當時，的單調遞減區間為：，
單調遞增區間為：；
當時，的單調遞減區間為：
單調遞增區間為：和；
當時，單調遞增區間為：.    7分
(2)由題意，    8分
假設存在區間，使得當時函數的值域為，即，
當時，在區間單調遞增   9分
，即方程有兩個大于的相異實根    10分
設，
    11分
設
，，在上單調增，又，即存在唯一的使.   12分
當時，，為減函數；當時，，為增函數；在處取到極小值.又   13分
在只存在一個零點，與方程有兩個大于的相異實根相矛盾，所以假設不成立，所以不存在符合題意.          14分