Question

【題目】△ABC的內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比數列，求cosB的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，利用正弦定理化簡，再利用誘導公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，bc成等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值

試題解析：

（Ⅰ）∵a，b，c成等差數列，

∴2b=a+c，

利用正弦定理化簡得：2sinB=sinA+sinC，

∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），

∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；

（Ⅱ）∵a，b，c成等比數列，

∴b2=ac，

∴cosB==≥=，

當且僅當a=c時等號成立，

∴cosB的最小值為．