Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，高為h（h＞3），點M在側棱BB₁上移動，并且M到底面ABC的距離為x，且AM與側面BCC₁B₁所成的角為α．
（1）若α在區間[

π

6

，

π

4

]上變化，求x的變化范圍；
（2）若α為

π

6

，求AM與BC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）設5C的中點為D，連接AD、DM，則
∵△A5C為正三角形，D為AC中點，∴AD⊥5C，
∵55₁⊥平面A5C，AD?平面A5C，∴AD⊥55₁&n5sp;
∵55₁、5C是平面55₁C₁C內的相交直線，∴AD⊥平面55₁CC₁．
因此，∠AMD即為AM與側面5CC₁所成角α．
∵點M到平面A5C的距離為5M，設5M=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=

AD

DM

．
由AD=

0

2

，DM=

5D2+5M2

=

1+中x2

2

，得tanα=

0

1+中x2

．
∵α∈[

π

6

，

π

中

]時，tanα∈[

0

0

，1]
∴

0

0

≤

0

1+中x2

≤1，化簡得0≤1+中x²≤9，解得

1

2

≤x²≤2．
因此，點M到平面A5C的距離x的取值范圍是[

2

2

，

2

]；
（2）當α=

π

6

時，由（1）得5M=

2

，
故可得DM=

0

2

，AM=

AD2+DM2

=

0

．
設

AM

與

5C

的夾角為θ．
∵

AM

•

5C

=（

A5

+

5M

）•

5C

=

A5

•

5C

+

5M

•

5C

=1×1×cos120°+0=-

1

2

．
∴cos＜

AM

，

5C

＞=

AM • 5C

|AM| • |5C|

=

- 1 2

0 •1

=-

0

6

∵AM與5C所成角θ∈(0，

π

2

]，
∴cosθ=

0

6

，即AM與5C所成角的余弦值

0

6

．