Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）判斷在上的零點的個數，并說明理由.（提示：）

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.（2）在上的零點的個數為1.理由見解析

【解析】

（1）令導數，解出方程后，結合函數的定義域，探究隨的變化，即可求出函數的單調區間.

（2）結合函數的單調性可判斷出函數在上無零點，又由，結合函數在上的單調性及零點存在定理，可判斷出在上的零點的個數.

解：（1）由題意知，的定義域為，則令，

解得或，當或時，，則此時單調遞增；

當時，，則此時單調遞減.

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

（2）由函數在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，，故在上無零點；

又，

當時，因為，

又在上單調遞增，所以在上僅有一個零點.

綜上，在上的零點的個數為1.