Question

已知函數，數列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若對于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求實數a的值；
（2）若對于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求實數a的取值范圍；
（3）請你構造一個無窮數列{b_n}，使其滿足下列兩個條件，并加以證明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②當a為{b_n}中的任意一項時，{a_n}中必有某一項的值為1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=a_n，我們不難根據a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一個關于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由a_n+1＞a_n，我們不難根據a₁=a，a_n+1=f（a_n），得到一個關于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知條件進行驗證，可得結果．
（3）我們可以根據已知條件中數列的形式，構造出滿足條件的無窮數列，然后再結合數列的通項公式進行證明．
解答：解：（1）由題意得a_n+1=a_n=a，∴，得a=2或a=3，符合題意
（2）設a_n+1＞a_n，即，解得a_n＜0或2＜a_n＜3
∴要使a₂＞a₁成立，則a₁＜0或2＜a₁＜3
①當a₁＜0時，
，
而，
即a₃＜a₂，不滿足題意．
②當2＜a₁＜3時，
，
a_n∈（2，3），
此時，，
∴a_n+1＞a_n，滿足題意．
綜上，a∈（2，3）
（3）構造數列{b_n}：，
下面證明滿足要求．
此時，不妨設a取b_n，
那么，

由，
可得
因為，
所以b_n＜b_n+1
又b_n＜2≠5，所以數列{b_n}是無窮數列，
因此構造的數列{b_n}符合題意．
點評：已知函數，數列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．當a_n+1=a_n成立時，可以用方程思想解決問題，當a_n+1＞a_n成立時，可以用不等式思想，求實數a的取值范圍；這其實是函數、方程、不等式之間的相互轉換，也是數列的函數特征最好的體現．