Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，，且，．

Ⅰ求證：平面ACF；

Ⅱ求直線AE與平面ACF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

Ⅰ取AC與BD的交點為O，連OF，證明，且，即可證明，進而得到平面ACF；

Ⅱ將線面角轉化為，或者建立坐標系，用向量法處理．

解：Ⅰ證明：取AC與BD的交點為O，連OF，

，，

四邊形EFOD為平行四邊形，

，

平面平面AFC，

平面ACF；

Ⅱ解法一：平面ABCD，

，又，

四邊形ABCD為菱形，

，

平面ACF，

是直線AE與平面ACF所成角，

可得，，，

.

方法二：易證OA，OB，OF兩兩垂直，以OA，OB，OF所在直線分別為x，y，z軸建系，如圖，

，

設平面ACF法向量為，

得一個法向量，

，

直線AE與平面ACF所成角的正弦值．