Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)經過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于、兩點，、分別為橢圓的左、右頂點，記與的面積分別為和，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析: （1）由離心率的值以及點P坐標求出橢圓方程;(2) 當直線無斜率時,直線方程為,不合題意; 當直線斜率存在（顯然）時,設直線方程為,設,聯立直線和橢圓方程,消去y得出關于x的一元二次方程,將韋達定理代入,再根據基本不等式求出最值.

試題解析:（1）因為，過點, 所以 . 所以橢圓方程為

（2）當直線無斜率時,直線方程為,

此時, 面積相等，

當直線斜率存在（顯然）時,設直線方程為,

設

和橢圓方程聯立得到,消掉得

顯然，方程有根，且

此時=

因為,上式，（時等號成立）

所以的最大值為