Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）若平面內有一經過點的曲線，該曲線上的任一動點都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由；

（3）在平面內，設點是（2）題中的曲線在直角梯形內部（包括邊界）的一段曲線上的動點，其中為曲線和的交點.以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點.當點在曲線段上運動時，試求圓半徑的范圍及的范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)雙曲線；(3)，.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件建立空間直角坐標系運用向量的數量積公式求解；(2)在空間坐標系中借助題設建立方程探求；(3)依據題設建立函數關系,運用二次函數的知識及不等式的性質等知識分析探求.

試題解析：

（1）如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，建立空間直角坐標系.于是有、，則有,又

則異面直線與所成角滿足，

所以，異面直線與所成角的大小為.

（2）如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，建立空間直角坐標系.設點，點、點、點，

則，，

則，

，

化簡整理得到，

則曲線是平面內的雙曲線.

（3）解：在如圖所示的的坐標系中，因為、、，設.則有,故的方程為，

代入雙曲線:的方程可得，，其中.

因為直線與雙曲線交于點,故.進而可得，即.故雙曲線在直角梯形內部（包括邊界）的區域滿足，.又設為雙曲線上的動點，.

所以，

因為，所以當時，；

當時，.

而要使圓與、都有交點，則.

故滿足題意的圓的半徑取值范圍是.

因為,所以體積為.故問題可以轉化為研究的面積.又因為為直角，所以必為等腰直角三角形.

由前述，設，則，

故其面積，所以.

于是，.

(當點運動到與點重合時，體積取得最大值；當點運動到橫坐標時，即長度最小時，體積取得最小值）