Question

【題目】已知以點A（m， ）（m∈R且m>0）為圓心的圓與x軸相交于O，B兩點，與y軸相交于O，C兩點，其中O為坐標原點．
（1）當m=2時，求圓A的標準方程；
（2）當m變化時，△OBC的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）設直線與圓A相交于P，Q兩點，且 |OP|=|OQ|，求 |PQ| 的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為定值;(3)

【解析】

試題（1）由可求得圓心坐標，由的值可求得圓的半徑，進而得到圓的方程；（2）由圓的方程可求得兩點坐標，將面積轉化為用兩點坐標表示，可得其為定值；（3）由|OP|=|OQ|可得點O在線段PQ的垂直平分線上，結合圓心也在線段PQ的垂直平分線上，從而可得，由此可求得的值，即求得圓心坐標，結合直線與圓相交的弦長問題可求得的值.

（1）當 時，圓心 的坐標為 ，

∵圓過原點， ∴ ，

則圓的方程是；

（2）∵圓過原點， ∴= ，

則圓的方程是，

令 ，得，∴；

令，得，∴，

∴, 即：的面積為定值；

（3）∵， ∴垂直平分線段，

∵ ，∴，

∴ ，解得 .

∵ 已知，∴，

∴ 圓的方程為．

，

此圓與直線相交于兩點，

.