Question

【題目】已知拋物線x2=4y焦點為F，點A，B，C為該拋物線上不同的三點，且滿足 + + = ．
（1）求|FA|+|FB|+|FC|；
（2）若直線AB交y軸于點D（0，b），求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

由拋物線x2=4y得焦點F坐標為（0，1），

所以 =（x1，y1﹣1）， =（x2，y2﹣1）， =（x3，y3﹣1），

所以由 + + = ，得 ，（*）

易得拋物線準線為y=﹣1，

由拋物線定義可知|FA|=y1+1，|FB|=y2+1，|FC|=y3+1，

所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+y2+y3+3=6

（2）解：顯然直線AB斜率存在，設為k，則直線AB方程為y=kx+b，

聯立 消去y得：x2﹣4kx﹣4b=0，

所以△=16k2+16b＞0即k2+b＞0…①

且x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=4k2+2b，

代入式子（*）得 又點C也在拋物線上，

所以16k2=12﹣16k2﹣8b，即k2= …②，

由①，②及k2≥0可解得 即﹣ ＜b≤ ，

又當b=1時，直線AB過點F，此時A，B，F三點共線，由 + + = ，

得 與 共線，即點C也在直線AB上，此時點C必與A，B之一重合，

不滿足點A，B，C為該拋物線上不同的三點，所以b≠1，

所以實數b的取值范圍為（﹣ ，1）∪（1， ]

【解析】（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求得拋物線的焦點坐標，準線方程，運用拋物線的定義和向量的坐標表示，可得所求和；（2）顯然直線AB斜率存在，設為k，則直線AB方程為y=kx+b，代入拋物線的方程，運用判別式大于0和韋達定理，結合向量的坐標表示，求出C的坐標，代入拋物線的方程，可得b的范圍，討論b=1不成立，即可得到所求范圍．