Question

【題目】已知動點與兩個定點，的距離的比為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，求線段長度的最小值；

（3）已知圓的圓心為，且圓與軸相切，若圓與曲線有公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .(3).

【解析】

（1）根據兩點間距離公式，及動點與兩個定點，的距離的比為，代入化簡即可求得動點P的軌跡方程。

（2）根據（1）中求的軌跡方程，判斷出點在圓內，則當直線滿足時MN的值最小，根據垂徑定理即可求得最小值。

（3）表示出圓Q的方程，根據兩個圓有公共點的條件，可知兩個圓的圓心距滿足，解不等式即可求得t的取值范圍。

（1）由題意知：設

則，即，

所以，

整理得.

所以動點的軌跡的方程為.

（2）由（1）知軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓.

又因為，所以點在圓內，

所以當線段的長度最小時，，

所以圓心到直線的距離為，

此時，線段的長為，

所以，線段長度的最小值為.

（3）因為點的坐標為，且圓與軸相切，所以圓的半徑為，

所以，圓的方程為.

因為，圓與圓有公共點，

又圓與圓的兩圓心距離為

，

所以，

即，

解得：.

所以，實數的取值范圍是.