Question

【題目】如圖，在正方形中，點，分別是，的中點，將分別沿，折起，使兩點重合于.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發給予證明，而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需結合平幾知識進行：連接交于，則根據等腰三角形性質得，（Ⅱ）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間關系求解

試題解析：（Ⅰ）證明：連接交于，連接.

在正方形中，點是中點，點是中點，

所以，

所以，

所以在等腰中，是的中點，且，

因此在等腰中，，

從而，

又，

所以平面，

即平面.…………………6分

（Ⅱ）方法一：

在正方形中，連接，交于，設正方形的邊長為2，

由于點是中點，點是中點，

所以，

于是，

從而，

所以，

于是，在翻折后的幾何體中，為二面角的平面角，

在正方形中，解得，，

所以，在中，，，，

由余弦定理得，

所以，二面角的余弦值為.………………………………12分

方法二：

由題知兩兩互相垂直，故以為原點，向量方向分別為，，軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系.

設正方形邊長為2，則，，，.

所以，.

設為平面的一個法向量，

由得，

令，得，

又由題知是平面的一個法向量，

所以.

所以，二面角的余弦值為.………………………………12分