Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正數，a1=1，前n項和為Sn ， 且an+12﹣nλ2﹣1=2λSn ， λ為正常數．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）記bn= ，Cn= + （k，n∈N*，k≥2n+2）． 求證：
①bn＜bn+1；
②Cn＞Cn+1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2n+1﹣nλ2﹣1=2λSn，λ為正常數．∴n≥2時， ﹣（n﹣1）λ2﹣1=2λSn﹣1．

∴a2n+1﹣nλ2﹣ +（n﹣1）λ2=2λan．化為：an+1﹣an=λ．

n=1時， ﹣1=2λ，解得a2=λ+1，因此a2﹣a1=λ．

∴數列{an}是等差數列，公差為λ．

∴an=1+λ（n﹣1）

（2）證明：①由（1）可得：Sn= ．

∴bn= = = ．

bn+1﹣bn= = ＞0．

∴bn+1＞bn．

②∵Cn= + ，（k，n∈N*，k≥2n+2）．

∴Cn+1﹣Cn= ﹣ ﹣

= +

= ﹣ ．

∵k≥2n+2，∴n+1＜k﹣n，n＜k﹣n﹣1．

由an＞0，∴0＜Sn＜Sk﹣n﹣1，∴ ．

又0＜bn+1＜bk﹣n，∴ ＜ ，

∴Cn+1﹣Cn＜0．∴Cn＞Cn+1

【解析】（1）a2n+1﹣nλ2﹣1=2λSn ， λ為正常數．可得：n≥2時， ﹣（n﹣1）λ2﹣1=2λSn﹣1 ． 相減化為：an+1﹣an=λ．n=1時， ﹣1=2λ，解得a2=λ+1，因此a2﹣a1=λ．利用等差數列的通項公式可得：an=1+λ（n﹣1）．（2）①由（1）可得：Sn= ．可得bn= = ，作差bn+1﹣bn ， 化簡即可得出．②Cn= + ，（k，n∈N*，k≥2n+2）．作差Cn+1﹣Cn= ﹣ ﹣ = ﹣ ．利用其單調性即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．