Question

【題目】已知點，是圓上的一個動點，為圓心，線段的垂直平分線與直線的交點為．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設與軸的正半軸交于點，直線與交于兩點（不經過點），且,證明：直線經過定點，并寫出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經過定點.

【解析】

（1）由橢圓定義，得到點的軌跡是以、為焦點的橢圓，求得的值，進而得到的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）聯立方程組，利用二次方程根與系數的關系，求得，，得到，，再由，根據，即可求解實數m的值，進而得出結論.

（1）圓的圓心，半徑，

由垂直平分線性質知：，

故，

由橢圓定義知，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，

設：，焦距為，

則，，，，

所以的方程為.

（2）由已知得，由得，

當時，設，，則，，

，，

由得，即，

所以，解得或，

①當時，直線經過點，不符合題意，舍去.

②當時，顯然有，直線經過定點.