Question

【題目】已知函數f（x）＝2xlnx+1．

（1）求曲線y＝f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；

（2）若關于x的不等式f（x）x2+ax在（，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 4x﹣y﹣2e+1＝0；(2) [﹣1，+∞）．

【解析】

（1）求導后，求出切線斜率，進而得到切線方程；

（2）原問題轉化為在上恒成立，令，求其最大值即可．

（1）依題意，f′（x）＝2lnx+2，故f′（e）＝4，而f（e）＝2elne+1＝2e+1，

∴所求切線方程為4x﹣y﹣2e+1＝0；

（2）關于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，

令，則，

當時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

∴g（x）max＝g（1）＝﹣1，故a≥﹣1．

故實數a的取值范圍為[﹣1，+∞）．