Question

設正四面體的四個頂點是各棱長均為1米，有一個小蟲從點開始按以下規則前進：在每一頂點處用同樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一，并一直爬到這條 棱的盡頭，則它爬了米之后恰好再次位于頂點的概率是      （結果用分數表示）．

Answer 1

試題分析：小蟲從A出發，一共分第5步走，可以確定下來是小蟲最后一步必須回到A，那么第四步就不能是走回A，所以第三步成為關鍵，
分兩種情況，①回到A點，②不回A點。
在①情況下，小蟲第一步有3種選擇，第三步為了回到A，則第二步只能有2種選擇，到第四步時，因為從A出發，又有3種選擇，所以此時共3×2×1×3×1=18種可能。
在②情況下，第二步的走法又分為③回A點或者④不回A點的情況。
因此在③情況下，共3×1×3×2×1=18種可能，
在④情況下，共3×2×2×2×1=24種可能。
所以，第五步回到A總共有18+18+24=60種可能。
而小蟲總共有3×3×3×3×3=243種選擇，
故它爬了米之后恰好再次位于頂點的概率是。
點評：中檔題，利用分類分步計數原理，計算完成事件的方法數，是正確解題的關鍵。