Question

有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
（3）恰有一個盒內放2個球，有多少種放法？
（4）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？

Answer 1

（1）256（2）144（3）144（4）84

試題分析：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數原理，放法共有：種．
（2）為保證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，即將4個球分成2，1，1的三組，有種分法；然后再從三個盒子中選一個放兩個球，其余兩個球，兩個盒子，全排列即可.由分步乘法計數原理，共有放法：種．
（3）“恰有一個盒內放2個球”，即另外三個盒子中恰有一個空盒.因此，“恰有一個盒內放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事.故也有144種放法.
（4）先從四個盒子中任意拿走兩個有種，問題轉化為：“4個球，兩個盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數目看，可分為（3，1），（2，2）兩類.第一類：可從4個球中先選3個，然后放入指定的一個盒子中即可，有種放法；第二類：有種放法.因此共有種.由分步乘法計數原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有：種．
點評：兩個計數原理是解決這類問題的基礎，而排列組合的準確靈活應用是解決這類問題的關鍵，要分清是排列問題還是組合問題，是分類還是分步，要堅持特殊元素優先和特殊位置優先的原則.