Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C，對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若B，A，C三角成等差數(shù)列，且a，b，c，三邊成等差數(shù)列，
（1）求

bsinB

c

的值．
（2）探求sinB+sinC取值范圍．

Answer 1

分析：由三角成等差數(shù)列得到A為60°，B+C=120°，由三邊成等差數(shù)列得到2b=a+c，利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出sin

B

2

的范圍，確定出B的范圍，進(jìn)而確定出三內(nèi)角都為60°，即三角形ABC為等邊三角形，
（1）將B為60°及b=c代入計(jì)算即可求出值；
（2）將B與C度數(shù)代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：∵B，A，C三角成等差數(shù)列，∴2A=B+C，即A=60°，且B+C=120°，
∵a，b，c三邊成等差數(shù)列，∴2b=a+c，
由正弦定理得2sinB=sinA+sinC，即2sin

B

2

cos

B

2

=2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2cos

B

2

cos

A-C

2

，
∴2sin

B

2

=cos

A-C

2

≤1，即sin

B

2

≤

1

2

，
∴0＜B≤60°，
若a≤b≤c，可得A≤B≤C，即A=B=C=60°；
若c≤b≤a，可得C≤B≤A，即A=B=C=60°，
∴△ABC為等邊三角形，即a=b=c，
（1）

bsinB

c

=

b× 3 2

b

=

3

2

；
（2）sinB+sinC=

3

2

+

3

2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，二倍角的正弦函數(shù)公式，以和差化積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．