Question

在△ABC中，內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，已知a²-c²=b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=

2

．

Answer 1

分析：解法一：利用余弦定理分別表示出cosC和cosA，并利用正弦定理化簡已知的等式sinAcosC=3cosAsinC，將表示出cosC和cosA代入，整理后再將a²-c²=b代入，可得出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值；
解法二：由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，變形后將a²-c²=b代入，再根據b不為0，兩邊除以b后，得到一個關系式，記作①，將sinAcosC=3cosAsinC兩邊都加上cosAsinC，左邊利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用誘導公式變形，并根據正弦定理化簡后，得到另外一個關系式，記作②，聯立①②就求出b的值．

解答：解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
則由正弦定理及余弦定理有：
a•

a2+b2-c2

2ab

=3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化簡并整理得：2（a²-c²）=b²，
又a²-c²=b，
∴2b=b²，
解得：b=2或b=0（舍），
則b的值為2；
法二：由余弦定理得：a²-c²=b²-2bccosA，
又a²-c²=b，b≠0，
∴b=2ccosA+1①，
又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC，
sin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC，
由正弦定理得sinB=

b

c

sinC，
∴b=4ccosA②，
由①②，解得b=2，
則b的值為2．
故答案為：2

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．