Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，左右頂點分別為，，上頂點為，

（1）求橢圓離心率；

（2）點到直線的距離為，求橢圓方程；

（3）在（2）的條件下，點在橢圓上且異于、兩點，直線與直線交于點，說明運動時以為直徑的圓與直線的位置關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）相切，證明見解析

【解析】

（1）由已知根據橢圓的定義可得，從而可得即可求解.

（2）利用點斜式求出直線的方程，再利用點到直線的距離公式可得，結合即可求解.

（3）設直線，將直線與橢圓聯立，利用韋達定理求出點坐標，再求出圓心，分類討論或，求出直線的方程， 再利用點到直線的距離與半徑作比較即可證出.

（1）由已知，

（2），直線，

即

則點到直線的距離，

解為，，橢圓方程為

（3）以為直徑的圓與直線相切，

證明：直線

交點為

得，

，

，，點，中點圓心

當時，點，直線，圓心，半徑1，與直線相切；

當時，，

點到直線的距離為半徑，得證.