Question

【題目】設拋物線的焦點為F，已知直線與拋物線C交于A，B兩點(A，B兩點分別在軸的上、下方)．

(1)求證：；

(2)已知弦長，試求：過A，B兩點，且與直線相切的圓D的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】

(1) 由與得，解得 ，又 ，從而得到結果；(2) 由弦長及拋物線定義可得m=1.圓心D在線段AB的中垂線上，求出中垂線方程，設出所求圓的圓心坐標為，借助點到線的距離公式可得圓D的方程．

（1）由與消去x，得，

設，

則為方程的兩個不同的根，

所以，

因為A，F，B三點共線，所以

（2）因為AB=8，

所以.

所以，

所以m=1.

線段AB的中點坐標為（3m，2m），即（3，2），

所以線段AB的中垂線方程為，

因為所求的圓過A，B點，所以圓心D在直線上，

設所求圓的圓心坐標為，

不難算得兩條平行線與

之間的距離，

即D到直線的距離，

由D到直線的距離得.

設圓D的半徑為R，

則，

因為過點A與點B的圓與直線相切，所以，

所以，

解得，或，

所以所求圓的方程為或.