Question

（本小題滿分14分）已知函數，.
（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若函數在[上有零點，求的最大值；（Ⅲ）證明：在其定義域內恒成立，并比較與（且）的大小.

Answer 1

(Ⅰ)單調遞增區間為，單調遞減區間為  (Ⅱ)  -2（Ⅲ）略

：（Ⅰ）由題知：的定義域為（0,+∞）∵
∴函數的單調遞增區間為　的單調遞減區間為
(Ⅱ)∵在x∈上的最小值為
且=
∴在x∈上沒有零點，∴要想使函數在（n∈Z）上有零點，并考慮到在單調遞增且在單調遞減，故只須且即可，
易驗證
，當n≤-2且n∈Z時均有，即函數在上有零點，∴n的最大值為-2.
(Ⅲ)要證明，即證只須證lnx-x+1上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由
則在x=1處有極大值（也是最大值）h(1)=0∴lnx-x+1上恒成立.
∴∴

=(n-1)-<(n-1)-[]
=(n-1)-( 
=∴<.