Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）證明函數f（x）在（﹣1，+∞）上為單調遞增函數；
（2）若x∈[0，2]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證法一： ．

設x1，x2是區間（﹣1，+∞）上的兩個任意實數，且x1＜x2，

于是 = ．

因為x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0，

所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），

所以函數f（x）在（﹣1，+∞）上為單調增函數．

證法二：∵f（x）= ．

∴f′（x）= ．

當x∈（﹣1，+∞）時，

f′（x）＞0恒成立，

故函數f（x）在（﹣1，+∞）上為單調遞增函數

（2）解：由（1）可知，函數在[0，2]上為單調增函數，

于是，當x∈[0，2]時，f（x）min=f（0）=1，…（11分） ．

所以，當x∈[0，2]時，函數f（x）的值域為

【解析】（1）證法一：設x1 ， x2是區間（﹣1，+∞）上的兩個任意實數，且x1＜x2 ， 作差判斷f（x1），f（x2）的大小，可得緒論
證法二：求導，根據x∈（﹣1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數f（x）在（﹣1，+∞）上為單調遞增函數；（2）根據（1）中函數的單調性，求出函數的最值，進而可得函數的值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數單調性的判斷方法的理解，了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．