Question

【題目】如圖所示，有一塊矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根據(jù)周邊環(huán)境及地形實(shí)際，當(dāng)?shù)卣�府�?guī)劃在該空地內(nèi)建一個(gè)箏形商業(yè)區(qū)AEFG，箏形的頂點(diǎn)A，E，F(xiàn)，G為商業(yè)區(qū)的四個(gè)入口，其中入口F在邊BC上（不包含頂點(diǎn)），入口E，G分別在邊AB，AD上，且滿足點(diǎn)A，F(xiàn)恰好關(guān)于直線EG對(duì)稱，矩形內(nèi)箏形外的區(qū)域均為綠化區(qū)．

（1）請(qǐng)確定入口F的選址范圍；
（2）設(shè)商業(yè)區(qū)的面積為S1 ， 綠化區(qū)的面積為S2 ， 商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)為 ，則入口F如何選址可使得該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則A（0，0），

設(shè)F（2，2a）（0＜2a＜4），則AF的中點(diǎn)為（1，a），斜率為a，

而EG⊥AF，故EG的斜率為 ，

則EG的方程為 ，

令x=0，得 ；

令y=0，得 ；

由 ，得 ，

∴ ，

即入口F的選址需滿足BF的長(zhǎng)度范圍是 （單位：km）

（2）解：因?yàn)? ，

故該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù) ，

所以要使 最大，只需S1最小．

設(shè) ，

則 ，

令f'（a）=0，得 或 （舍），

a，f'（a），f（a）的情況如下表：

a	2﹣	（2﹣ ， ）			1
f'（a）		﹣	0	+
f（a）		減	極小	增

故當(dāng) ，即入口F滿足 km時(shí)，該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù)最大

【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），設(shè)F（2，2a）（0＜2a＜4），則AF的中點(diǎn)為（1，a），斜率為a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因?yàn)? ，該商業(yè)區(qū)的環(huán)境舒適度指數(shù) ，所以要使 最大，只需S1最小．轉(zhuǎn)化為求其最小值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．