Question

【題目】已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且到原點的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由點到直線距離公式求出的值，在代入可求得，進而得拋物線的方程；（2）由（1）知點的坐標，可得直線的方程為，與拋物線方程聯立可求出，進而可得直線的方程及直線的方程，只需證明到直線、距離相等即可.

試題解析：（1）由題意可得：，

解得，

所以拋物線的方程為.

（2）設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為.

因為點在拋物線上，

所以，

由拋物線的對稱性，不妨設.

由，可得直線的方程為.

由，得，

解得或，從而.

又，

故直線的方程為，

從而.

又直線的方程為，

所以點到直線的距離為.

這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切.