Question

已知雙曲線的兩個焦點為，實半軸長與虛半軸長的乘積為．直線過點且與線段的夾角為且，與線段垂直平分線的交點為，線段與雙曲線的交點為，且，求雙曲線方程．

Answer 1

或

從雙曲線的對稱性知，我們可以取以所在直線為軸，過中點且垂直于的直線為軸建立直角坐標系如圖所示，
設雙曲線方程為，用待定系數法求之值，又設，．
從題設知道直線方程為，
即，在方程中令，得點坐標．，
由定比分點坐標公式可得點坐標為．
點在雙曲線上，．      ①
又，        ②　　　從題設有，   　③
從式①，②消去，化簡整理得．
解此方程得，或（舍去）．
，，．       ④
由③，④得，．
故所求雙曲線方程為，從對稱性知，雙曲線也適合．