Question

【題目】函數，，已知函數，的圖象存在唯一的公切線.

（1）求的值；

（2）當，時，證明：關于的不等式在上有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由題意易知兩函數圖象有唯一公共點，設為，從而得，解方程即可；

（2）根據條件可得在上有解，令，，然后利用導數求函數的最值，即可得解.

（1）函數的圖象存在唯一的公切線等價于的圖象有唯一的公共點，且在處的切線重合，設，

所以

所以，.

（2）證明：關于的不等式在上有解關于的不等式在上有解.

令，，

則，，

所以，，

因為，，且，在時單調遞增，

所以在時單調遞增，

因為，，

所以存在唯一，使得，

即，且.

所以在取得最小值

，

所以在上單調遞增，

所以，

即的值域為，

所以當時，

關于的不等式在上有解，

即證得，當，時，關于的不等式在上有解.