Question

如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點.

（Ⅰ）求證：平面；   　

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得點到平

面的距離為？若存在，確定點的位置；

若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，

∴，又，

∴平面，

∴.                                                   2分

同理，                                               4分

∴平面．          

5分

（Ⅱ）解：設為中點，連結，

又為中點，

可得，從而底面．

過 作的垂線，垂足為,連結．

由三垂線定理有，

∴為二面角的平面角.                        7分

在中，可求得   

∴．                               9分

∴ 二面角的大小為．               10分

（Ⅲ）解：由為中點可知,

要使得點到平面的距離為，

即要點到平面的距離為.

過 作的垂線，垂足為,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即為點到平面的距離.

∴，

∴．                                        12分

設，

由與相似可得

，

∴，即．

∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．

14分

解法二：

（Ⅰ）證明：同解法一．

（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系，                6分

則.         

設為平面的一個法向量，

則，．

又

 

令則

得．               8分

又是平面的一個法向量，

9分

設二面角的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為．                    10分

（Ⅲ）解：設為平面的一個法向量，

則，．

又，

 

令則

得．                                         12分

又

∴點到平面的距離，

∴，

解得，即 .

∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點．14分

【解析】

試題分析：解法一：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，

∴，又，

∴平面，

∴.                                                   2分

同理，                                               4分

∴平面．          

5分

（Ⅱ）解：設為中點，連結，

又為中點，

可得，從而底面．

過 作的垂線，垂足為,連結．

由三垂線定理有，

∴為二面角的平面角.                        7分

在中，可求得   

∴．                               9分

∴ 二面角的大小為．               10分

（Ⅲ）解：由為中點可知,

要使得點到平面的距離為，

即要點到平面的距離為.

過 作的垂線，垂足為,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即為點到平面的距離.

∴，

∴．                                        12分

設，

由與相似可得

，

∴，即．

∴在線段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為．14分

解法二：

（Ⅰ）證明：同解法一．

（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系，                6分

則.         

設為平面的一個法向量，

則，．

又

 

令則

得．               8分

又是平面的一個法向量，

9分

設二面角的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為．                    10分

（Ⅲ）解：設為平面的一個法向量，

則，．

又，

 

令則

得．                                         12分

又

∴點到平面的距離，

∴，

解得，即 .

∴在線段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點．14分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系，角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，若利用向量則可簡化證明過程。本題解法較多，相互比較，可見其優劣。