Question

如圖，四棱錐中，底面ABCD是菱形，SA=SD=

39

，AD=2

3

，且S-AD-B大小為120°，∠DAB=60°．
（1）求異面直線SA與BD所成角的正切值；
（2）求證：二面角A-SD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）過A作AO∥BD交CD的延長線于點O，連接BO交AD于點E，再連接OS，可得∠SAO是異面直線SA與所成的角．再利用解三角形的有關知識得到SE=6，OE=BE=3，在△SEO中由余弦定理可得：SO=3

3

，然后在△SOA中由長度關系得到SO⊥OA，進而求出線面角的正切值．
（2）在△SOE中由長度關系得到SO⊥OE，又SO⊥OA，可得SO⊥平面ABCD，所以平面SOC⊥平面ABCD，過A作AF⊥OD，得到AF⊥平面SOD，作AN⊥SD，并且交SD與點N，連FN，由三垂線定理可得：FN⊥SD，根據二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角，進而利用解三角形的有關知識求出二面角的平面角．

解答：解：（1）過A作AO∥BD交CD的延長線于點O，連接BO交AD于點E，再連接OS，
∴∠SAO是異面直線SA與所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四邊形，∴E是AD的中點．
∵SA=SD=

39

，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=

39

，AD=2

3

，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：SO2=SE2+OE2-2SE•OE•cos60°⇒SO=3

3

．
在△SOA中，SO=3

3

，SA=

39

，OA=2

3

，SO2+OA2=SA2⇒SO⊥OA，
∴tan∠SAO=

OS

OA

=

3 3

2 3

=

3

2

；…（6分）
所以異面直線SA與BD所成角的正切值為

3

2

．
（2）在△SOE中，SO=3

3

，SE=6，OE=3，SO2+OE2=SE2⇒SO⊥OE
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO?平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
過A作AF⊥OD，

∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD與點N，連FN，
∴由三垂線定理可得：FN⊥SD，
∴根據二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由題意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根據等面積可得：

1

2

×AD×SE=

1

2

×SD×AN，即

1

2

× 2

3

×6= 

1

2

×

39

×AN，
所以AN=

12 3

39

=

12 13

13

，
所以sin∠FNA=

AF

AN

=

3

12 13 13

=

13

4

．
故二面角A-SD-C的大小為π-arcsin

13

4

．…（12分）

點評：本題主要考查空間中的二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關鍵是做角，其步驟是：首先是結合圖形的結構及題設條件正確的作出空間角，再證明此角是所求角，然后利用解三角形的有關知識求出空間角，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．