Question

(本題滿分16分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分．
　　已知兩點、，點是直角坐標平面上的動點，若將點的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到倍后得到點滿足．
(1) 求動點所在曲線的軌跡方程；
(2)(理科)過點作斜率為的直線交曲線于兩點，且滿足，又點關于原點O的對稱點為點，試問四點是否共圓，若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．
(文科)過點作斜率為的直線交曲線于兩點，且滿足(O為坐標原點)，試判斷點是否在曲線上，并說明理由．

Answer 1

解(1)依據題意，有．
∵，
∴．
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是．
(2)(理科)因直線過點，且斜率為，
故有．聯立方程組，得．
設兩曲線的交點為、，可算得．
又，點與點關于原點對稱，
于是，可得點、．
若線段、的中垂線分別為和，則有，．
聯立方程組，解得和的交點為．
因此，可算得，
　　　　　　．
所以，四點共圓，圓心坐標為，半徑為．

略