【題目】已知三棱錐
的四個頂點在球
的球面上，
，
是邊長為
正三角形，
分別是
的中點，
，則球的體積為_________________。
【答案】
【解析】
由已知設出
，
，
，分別在
中和在
中運用余弦定理表示
，得到關于x與y的關系式，再在
中運用勾股定理得到關于x與y的又一關系式，聯立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是
，
，
兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐
的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.
在中，設，，，
,
，
因為點
，點
分別是，
的中點，所以
，
，
在中，
，在中，
，
整理得
，
因為
是邊長為
的正三角形，所以
，
又因為
，所以
，由
，解得
，
所以
。
又因為是邊長為的正三角形，所以
，所以
，
所以，，兩兩垂直，
則球
為以為棱的正方體的外接球，
則外接球直徑為
，
所以球的體積為
,
故答案為：.
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【題目】在一次數學測驗后，數學老師將某班全體學生（50人）的數學成績進行初步統計后交給其班主任（如表）.
分數 | 5060 | 60~70 | 70-80 | 80-90 | 90~100 |
人數 | 2 | 6 | 10 | 20 | 12 |
請你幫助這位班主任完成下面的統計分析工作：
（1）列出頻率分布表；
（2）畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖；
（3）從頻率分布直方圖估計出該班同學成績的眾數、中位數和平均數.
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
， 
的極坐標方程為
.
（1）求直線
與
的交點的軌跡
的方程；
（2）若曲線
上存在4個點到直線
的距離相等，求實數
的取值范圍.
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【題目】在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務.已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有______種.（以數字作答）
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【題目】已知圓C過點M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
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【題目】已知極點與直角坐標系原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程為
，直線l的參數方程為
為參數
．
若
，直線l與x軸的交點為M，N是圓C上一動點，求
的最小值；
若直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑，求a的值．
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【題目】為了研究某種微生物的生長規律，研究小組在實驗室對該種微生物進行培育實驗．前三天觀測的該微生物的群落單位數量分別為12，16，24．根據實驗數據，用y表示第
天的群落單位數量，某研究員提出了兩種函數模型；①
；②
，其中a，b，c，p，q，r都是常數．
（1）根據實驗數據，分別求出這兩種函數模型的解析式；
（2）若第4天和第5天觀測的群落單位數量分別為40和72，請從這兩個函數模型中選出更合適的一個，并計算從第幾天開始該微生物群落的單位數量超過1000．
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【題目】某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發芽多少之間的關系進行硏究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發芽數，得到如下資料：
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
溫差x（ | 8 | 11 | 13 | 12 | 10 |
發芽數y（顆） | 22 | 27 | 31 | 35 | 26 |
（1）從3月1日至3月5日中任選2天，記發芽的種子數分別為m，n，求事件“m，n均不小于27”的概率．
（2）若選取的是3月1日與3月5日的兩組數據，請根據3月2日至3月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程
．
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式：回歸直線的方程是，其中
，
）
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