Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值又有最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）先由求得，，由基本不等式求出的值域，根據(jù)題意，只需在的值域范圍內(nèi)即可；

（2）先由題意，得到要使在區(qū)間上有最大值，則必須在上取得最大值，列出不等式，求出，判斷出，從而得到要使在區(qū)間上存在最小值，必須有，進(jìn)一步求得，令，此時(shí) ，根據(jù)，得出，判斷出函數(shù)單調(diào)性，從而可得出結(jié)果.

（1）令，即，解得：，，

又，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；

所以；

要使函數(shù)存在零點(diǎn)，只需或

即或

（2）由（1）知：函數(shù)在區(qū)間有最小值，無(wú)最大值；

而二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值；

因此要使在區(qū)間上有最大值，則必須在上取得最大值，

因此，即，解得；

當(dāng)時(shí)，，

所以要使在區(qū)間上存在最小值，必須有，

即，解得；

當(dāng)時(shí)，，，

令，有，此時(shí)；

又由得，，

在上存在，使，

在上遞增，上遞減，上遞增；

在上單調(diào)遞減，；

在區(qū)間有最大值，最小值；

即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上既有最大值又有最小值.