Question

【題目】一家公司計劃生產某種小型產品的月固定成本為1萬元，每生產1萬件需要再投入2萬元，設該公司一個月內生產該小型產品x萬件并全部銷售完，每萬件的銷售收入為4﹣x萬元，且每萬件國家給予補助2e﹣ ﹣ 萬元．（e為自然對數的底數，e是一個常數）
（1）寫出月利潤f（x）（萬元）關于月產量x（萬件）的函數解析式
（2）當月產量在[1，2e]萬件時，求該公司在生產這種小型產品中所獲得的月利潤最大值（萬元）及此時的月生成量值（萬件）．（注：月利潤=月銷售收入+月國家補助﹣月總成本）

Answer 1

【答案】
（1）解：由于：月利潤=月銷售收入+月國家補助﹣月總成本，可得

（2）解：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定義域為[1，2e]，

且

列表如下：

x	（1，e）	e	（e，2e]
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	增	極大值f（e）	減

由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定義域[1，2e]上的最大值為f（e）．

且f（e）=e2﹣2．即：月生產量在[1，2e]萬件時，該公司在生產這種小型產品中所獲得的月利潤最大值為f（e）=e2﹣2，此時的月生產量值為e（萬件）．

【解析】（1）由月利潤=月銷售收入+月國家補助﹣月總成本，即可列出函數關系式；（2）利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數的最大值．