Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+4=0
（1）過P（-2，5）作圓C的切線，求切線方程；
（2）斜率為2的直線與圓C相交，且被圓截得的弦長為，求此直線方程．
（3）Q（x，y）為圓C上的動點，求的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓的方程求出圓心和半徑，當切線斜率不存在時，切線方程為 x=-2．當切線斜率存在時，用點斜式設出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑，求得斜率，即可得到圓的切線方程．
（2）由題意可得可得圓心到直線的距離為 ，設直線的方程為 y=2x+b，由 =，求得b的值，可得直線的方程．
（3）由于=，表示圓上的點Q（x，y）到點（-3，-2）的距離．求出圓心C（-1，2）到點（-3，-2）的距離，將此值加上或減去半徑，即得所求．
解答：解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+4=0 即 （x+1）²+（y-2）²=1，表示以C（-1，2）為圓心，半徑等于1的圓．
過P（-2，5）作圓C的切線，當切線斜率不存在時，切線方程為 x=-2．
當切線斜率存在時，設切線方程為 y-5=k（x+2），即 kx-y+2k+5=0．
由圓心到切線的距離等于半徑，可得1=，k=-，此時，切線方程為-x-y-+5=0，即4x+3y-7=0，
故圓的切線方程為 x=-2，或4x+3y-7=0．
（2）斜率為2的直線與圓C相交，且被圓截得的弦長為，可得圓心到直線的距離為 ．
可設直線的方程為 y=2x+b，即 2x-y+b=0．
由 =，b=4±，故直線方程為 2x-y+4+=0，或  2x-y+4-=0．
（3）由于=，表示圓上的點Q（x，y）到點（-3，-2）的距離．
由于圓心C（-1，2）到點（-3，-2）的距離等于2，
故的最小值為，最大值為．
點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．