Question

【題目】如圖，已知梯形與梯形全等， ， ， ， ， ， 為中點.

（Ⅰ）證明： 平面

（Ⅱ）點在線段上(端點除外),且與平面所成角的正弦值為,求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）：設為中點，連結,易得四邊形是平行四邊形，有，進而可證線面平行；

（Ⅱ）由， 得平面，以為坐標原點， ， ， 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標系.設點在上，且，求得平面的個法向量，設與平面所成角為，則，從而得解.

試題解析：

（Ⅰ）證明：方法一：設為中點，連結,因為為中點,

所以是的中位線， .

由已知，所以，因此四邊形是平行四邊形，

所以.

又平面， 平面，所以平面.

方法二：延長線段， ，交于點，連結，由，則是的中點，又是的中點，所以是的中位線，所以.

又平由， 平面，所以平面.

（Ⅱ）由梯形與梯形全等,

因為， ，

所以， .

中， ，

所以.因為,

故有,從而,

又因為， ,所以平面.

以為坐標原點， ， ， 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標系.設點在上，且， ， ,

， ，所以，

設是平面的個法向量，則

即取

，

故.

設與平面所成角為，

則，即.

解得， (舍去),故.