Question

【題目】已知函數f(x)＝sin x，g(x)＝mx－ (m為實數).

(1)求曲線y＝f(x)在點處的切線方程；

(2)求函數g(x)的單調遞減區間；

(3)若m＝1，證明：當x＞0時，f(x)＜g(x)＋.

Answer 1

【答案】（1）x－y＋1－＝0（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導函數,求出得到切線的斜率，求出的值，求得切點坐標,由直線方程的點斜式得到切線方程；(2)求出函數的導函數,然后討論和分析導函數的符號,從而求得的單調遞減區間；(3)分別構造函數,

然后利用其導函數的符號判斷所構造函數的單調性,從而證明答案.

試題解析：(1)解　由題意得所求切線的斜率k＝f′＝cos＝.切點P，則切線方程為y－＝.即x－y＋1－＝0.

(2)解　g′(x)＝m－x2.

①當m≤0時，g′(x)≤0，則g(x)的單調遞減區間是(－∞，＋∞)；

②當m＞0時，令g′ (x)＜0，解得x＜－或x＞，則g(x)的單調遞減區間是(－∞，－)，(，＋∞).

(3)證明　當m＝1時，g(x)＝x－ .

令h(x)＝g(x)＋ －f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，

h′(x)＝1－cos x≥0，則h(x)是[0，＋∞)上的增函數.

故當x＞0時，h(x)＞h(0)＝0，

即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋ .

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性、分類討論思想的應用，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.