Question

【題目】已知函數，函數（）.

（1）討論的單調性；

（2）證明：當時，.

（3）證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）求出的定義域，導函數，對參數、分類討論得到答案.

（2）設函數，求導說明函數的單調性，求出函數的最大值，即可得證.

（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.

（1）解：的定義域為，，

當，時，，則在上單調遞增；

當，時，令，得，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增；

當，時，，則在上單調遞減；

當，時，令，得，令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）證明：設函數，則.

因為，所以，，

則，從而在上單調遞減，

所以，即.

（3）證明：當時，.

由（1）知，，所以，

即.

當時，，，

則，

即，

又，

所以，

即.