Question

【題目】已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.

（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；

（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入﹣年總成本）

Answer 1

【答案】（1）；（2）當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．

【解析】試題分析：本題考查的知識點是分段函數及函數的最值，分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：分段函數的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數的奇偶性、單調性要在各段上分別論證；分段函數的最大值，是各段上最大值中的最大者．第一問，由年利潤W=年產量x×每千件的銷售收入為R（x）﹣成本，又由，且年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．我們易得年利潤W（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；

第二問，由第一問的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據分段函數的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結果．

試題解析：（1）當時， ；

當時， ．

∴.

（2）①當時，由，得，

且當時， ；當時， ，

∴當時，W取最大值，且，

②當時， ，

當且僅當，

即時， ，

故當時，W取最大值38．

綜合①②知當時，W取最大值38.6萬元，故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．