Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，E是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，如圖2所示.

(1)若F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，且AB∥平面EFG，求證：CD∥平面EFG；
(2)當(dāng)圖1中AE＋EC最小時(shí)，求圖2中二面角A－EC－B的大小.

Answer 1

（1）只需證CD//EG；（2）60°。

試題分析：(1)證明(略)       4分
(2)由圖1可知，當(dāng)AE＋EC最小時(shí)，E是BD的中點(diǎn)
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，∴AB⊥面BCD.
故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于CD的直線為x軸，
BD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z軸，建立
如圖所示空間直角坐標(biāo)系B－xyz.
則A(0，0，1)，C(1，，0)，D(0，0)，E(0，，0)
＝(0，－，1)，＝(1，，0)
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為n₁＝(x，y，z)
則 Þ 
解得x＝－z，y＝z
∴平面AEC的一個(gè)法向量為n₁＝(－1，，1)
而平面BCE的一個(gè)法向量為n₂＝(0，0，1)
∴cos<n₁，n₂> ＝      10'
顯然，二面角A－EC－B為銳角，所以，二面角A－EC－B的大小為60°. 12分
點(diǎn)評(píng)：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對(duì)，出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯(cuò)誤。