Question

【題目】已知函數(shù)（）.其中常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求在上的極大值點；

（2）（i）證明在上單調(diào)遞增；

（ii）求關(guān)于x的方程在上的實數(shù)解的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）極大值點為（2）（i）證明見解析；（ii）實數(shù)解的個數(shù)為2

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點即可；

（2）只需證明，問題轉(zhuǎn)化為只需證明，令，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可；

求出，再證明函數(shù)的最大值；令函數(shù)，，先求函數(shù)在上的零點個數(shù)，再求函數(shù)在上的零點的個數(shù)，從而求出方程解的個數(shù)．

解：（1）易知，

若，則，所以可得下表：

x
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴函數(shù)的極大值點為.

（2）（i）∵，∴在上必存在唯一實數(shù)，使得，

∴易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

欲證明在上單調(diào)遞增，只需證明：，

∵，∴，故只需證明，

令，，則，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時，，

∴，即，亦即.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（ii）先證明當(dāng)時，有，

令，，則，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時，，即，

再證明函數(shù)的最大值，

顯然，∴，，

∵，∴，

下證，令，則，

即證（），即證（），

令，則，∴函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

∴當(dāng)時，，∴（），

∴，

令函數(shù)，，

先求函數(shù)在上的零點個數(shù)，

∵，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減

∴函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1：

再求函數(shù)在上的零點個數(shù)，

∵，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴①當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上沒有零點，

即函數(shù)在上的零點個數(shù)為0；

②當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上有唯一零點，

即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1：

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為1：

當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為2，

∴當(dāng)時，關(guān)于x的方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為1：

當(dāng)時，關(guān)于x的方程在上的實數(shù)解的個數(shù)為2.