Question

【題目】已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2 ．
（1）求角A的值；
（2）若a= ，則求b+c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在銳角△ABC中，根據（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2 =a﹣2a ，

利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），

即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，

即sinC=2sinCcosA，∴cosA= ，∴A=

（2）解：若a= ，則由正弦定理可得 = =2，

∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（ ﹣B）]=3sinB+ cosB=2 sin（B+ ）．

由于 ，求得 ＜B＜ ，∴ ＜B+ ＜ ．

∴sin（B+ ）∈（ ，1]，∴b+c∈（3，2 ]

【解析】（1）在銳角△ABC中，根據條件利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），化簡可得cosA = ，由此可得A的值．（2）由正弦定理可得 = =2，可得 b+c=2（sinB+sinC）=2 sin（B+ ）．
再由 ，求得B的范圍，再利用正弦函數的定義域和值域求得b+c的取值范圍．