Question

【題目】如圖四棱錐 中，四邊形 為平行四邊形， 為等邊三角形，AABE是以 為直角的等腰直角三角形，且 .

（1）證明: 平面 平面BCE；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)O為BE的中點，連接AO與CO，因為ABCE為等邊三角形，AABE是以 為直角的等腰直角三角形，則 .故由二面角的平面角的定義可知 是二面角 的平面角，設(shè) ,則 ，在 中，因為 ，所以 ，即 ，也即二面角 的平面角為 ，故由面面垂直的定義可知平面 平面BCE.

（2）解：由（1）可知 兩兩互相垂直，設(shè)OE的方向為x軸正方向，OE為單位長，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 .則

,所以

.設(shè) 是平面 的法向量，則 ,即 ,所以可取 ,設(shè) 是平面 的法向量，則 ,同理可取 ,則 ,所以二面角 的余弦值為 .

【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線，即可證明 A O ⊥ B E , C O ⊥ B E ，從而找出 ∠ A O C 是二面角 A B E C 的平面角，在 Δ A O C 中借助邊的關(guān)系以及勾股定理可得證 ∠ A O C = 900，即二面角 A B E C 的平面角為 900，故由面面垂直的定義可知平面 A B E ⊥ 平面BCE.(2)由已知根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個點的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面ADE和平面DEC的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運算公式求出余弦值即可。

【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間向量的數(shù)量積運算的相關(guān)知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；等于的長度與在的方向上的投影的乘積才能正確解答此題．