Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
（Ⅰ）證明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴ =（0，1，1）， =（2，0，0）
∵ =0，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵ =（﹣1，2，0）， =（1，0，﹣2），
設平面PBD的法向量 =（x，y，z），
由 ，得 ，
令y=1，則 =（2，1，1），
則直線BE與平面PBD所成角θ滿足：
sinθ= = = ，
故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為 ．
（Ⅲ）∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0），
由F點在棱PC上，設 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得 =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ= ，
即 =（﹣ ， ， ），
設平面FBA的法向量為 =（a，b，c），
由 ，得
令c=1，則 =（0，﹣3，1），
取平面ABP的法向量 =（0，1，0），
則二面角F﹣AB﹣P的平面角α滿足：
cosα= = = ，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值為：
【解析】（I）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出BE，DC的方向向量，根據 =0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根據BF⊥AC，求出向量 的坐標，進而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．