Question

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C= ． （Ⅰ）若△ABC的面積等于 ，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵c=2，C= ，c2=a2+b2﹣2abcosC ∴a2+b2﹣ab=4，
又∵△ABC的面積等于 ，
∴ ，
∴ab=4
聯(lián)立方程組 ，解得a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
當(dāng)cosA=0時(shí)， ， ， ， ，求得此時(shí)
當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
聯(lián)立方程組 解得 ， ．
所以△ABC的面積
綜上知△ABC的面積
【解析】（Ⅰ）先通過余弦定理求出a，b的關(guān)系式；再通過正弦定理及三角形的面積求出a，b的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通過C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．當(dāng)cosA=0時(shí)求出a，b的值進(jìn)而通過 absinC求出三角形的面積；當(dāng)cosA≠0時(shí)，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程解得a，b的值進(jìn)而通過 absinC求出三角形的面積．