Question

【題目】已知函數(shù)
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a與b，恒有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)

∴ ，

由f′（x）＞0x＞0；由f′（x）＜0﹣1＜x＜0；

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間（﹣1，0）

（2）解： ，

當(dāng)x=1時(shí)，y'= 得切線的斜率為 ，所以k= ；

所以曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：

y﹣ln2+ = ×（x﹣1），即x﹣4y+4ln2﹣3=0．

故切線方程為 x﹣4y+4ln2﹣3=0

（3）解：所證不等式等價(jià)為

而 ，設(shè)t=x+1，則 ，

由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，

由此F（t）min=F（1）=0，

所以F（t）≥F（1）=0即 ，

記 代入得：

得證

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）的定義域，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）欲求在點(diǎn)（1，f
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．