Question

【題目】已知函數， ，其中是的導函數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ） ，切線的斜率，所以切線方程為，即．

（Ⅱ）在上恒成立，即在上恒成立，即，構造求最小值即可.

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，且，

由導數的幾何意義所求切線的斜率，

所以所求的切線方程為，即．

（Ⅱ）， ，

∴在上恒成立，

即，即在上恒成立，即．

令，則，

令， ，

當時， ，∴在上單調遞增．

∴，∴（），

∴，∴在上單調遞增，當然在上也單調遞增，

∴，

∴．

點晴:本題主要考查導數與切線，導數與極值點、不等式等知識. 解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區間易出錯. 解決含參數問題及不等式問題注意兩個轉化：(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．(2)將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性,最值問題處理．