Question

【題目】已知函數f（x）= （e是自然對數的底數），h（x）=1﹣x﹣xlnx．
（1）求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求h（x）的單調區間；
（3）設g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數，證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= 的導數為 = ，

可得曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線斜率為0，

切點為（1， ），可得曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y=

（2）解：h（x）=1﹣x﹣xlnx求導數得h′（x）=﹣1﹣（1+lnx），x∈（0，+∞），

令h′（x）=﹣2﹣lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e﹣2，

當x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0；當x∈（e﹣2，+∞）時，h′（x）＜0．

因此h（x）的單調遞增區間為（0，e﹣2），單調遞減區間為（e﹣2，+∞）

（3）證明：因為g（x）=xf′（x）．

所以g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．

由h（x）=1﹣x﹣xlnx，

求導得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），

所以當x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增；

當x∈（e﹣2，+∞）時，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減．

所以當x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．

又當x∈（0，+∞）時，0＜ ＜1，

所以當x∈（0，+∞）時， h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．

綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2

【解析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；（2）求導數，利用導數的正負，求h（x）的單調區間；（3）g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，確定當x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．當x∈（0，+∞）時，0＜ ＜1，即可證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．