Question

【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形，，四邊形為直角梯形，且，，點為的重心，為中點，平面，為線段上靠近點的三等分點．

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）連并延長交于，連，由三角形的重心的條件及題意可得，故，再根據線面平行的判定定理可得結論．（2）由題意得兩兩垂直，由此建立空間直角坐標系．設，結合條件求得平面的法向量為，又平面的法向量為，根據二面角的余弦值為可求得，進而可求得異面直線與所成角的余弦值．

詳解：（1）證明：在中，連并延長交于，連．

因為點為的重心，

所以，且為中點．

又，

所以，

所以．

又為中點，

所以．

又，

所以，

所以，，，四點共面，

又平面，平面，

所以平面．

（2）由題意，平面，即平面，

又平面，

所以．

因為平面平面，且交線為，，

所以平面．

又四邊形為直角梯形，，，

所以，

所以平面．

因為，，

所以平面平面，

又與分別是邊長為1與2的正三角形，

故以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，，，，，，

因為，

所以，，，

設平面的一個法向量為，

由，得，

令，得．

又平面的法向量．

由題意得，

解得，

又，，

所以 ．

所以異面直線與所成角的余弦值為．